運動

布朗運動的方程式是什麼?

布朗運動的方程式是什麼?                                
西元1827年

英國植物學家勞伯‧布朗 (Robert Brown) 利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中的花粉粒時

發現這些花粉粒會做連續快速而不規則的隨機移動

這種移動稱為布朗運動 (Brownian motion)。

接著生物學家發現懸浮於液體或空氣中直徑小於 0.04 公分的粒子都會產生布朗運動。

譬如

當陽光射進暗室時

我們很容易從光束中觀察到灰塵粒子在空氣中產生布朗運動的現象。

事實上布朗並非第一個發現布朗運動者。

布朗在提到1819年 Bywater 發表的一篇文章時曾說:「不但是有機物質

無機物質也包含他(指 Bywater)所謂活潑的或激應性的粒子」。

由此我們還察覺到

十九世紀初生物學家還以為布朗運動的發生是由於粒子本身是「活的」的緣故。

直到1917年這種粒子的「生機說」才被 D'Arcy Thompson 所推翻。

Thompson 認為布朗運動之所以會發生是因為粒子與液體或氣體分子連續互相碰撞的結果。

科學家發現布朗運動有下列主要特性: 一、 粒子的運動由平移及及轉移所構成

顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。

二、 粒子之移動顯然互不相關

甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。

三、 粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時

粒子的運動越活潑。

四、 粒子的成分及密度對其運動沒有影響。

五、 粒子的運動永不停止。

其中

關於第一點

數學上的確存在處處連續而處處不可微分的函數。

例如 (Weierstrass 函數)便是。

事實上

從布朗運動的數學定義(見第三節定義一)

我們可證明幾乎每一布朗運動的軌跡皆處處不可微分(因此也就沒有切線)。

第二點曾被布朗所提及。

第五點則是由觀察一個樣本二十年及觀察一個千年石英礦中之液體所得到的結論。

布朗運動的數學模式 為求簡化起見

我們設 D=1。

令 Bt 為 Zt 之極限隨機變數

則 便叫做布朗運動或衛納過程。

我們嚴格地定義布朗運動如下: 定義一: 令 為一隨機過程且滿足以下三個條件: B(0)=0 設

則 {B(sj 1)-B(sj): 為獨立隨機變數族。

對每一

B(t s)-B(s) 有常態分配 N(0

t)

換句話說 其中(1)與(2)皆是繼承 {Zt} 之性質而來

(3)也表示布朗運動對時間有齊一性。

合併(2)(3)之性質

我們稱 B(t) 有平穩獨立增量 (stationary independent increments)。

對任意

{B(t) a} 一般叫做以 a 為起點的布朗運動。

{B(t)} 所在的樣本空間可取 Ω

然後定

(Bt 與 B(t) 兩個記號通用)。

令 I=[a

b]

定義 p(s

x;t s

I) 稱為 {B(t)} 之轉移函數。

顯然

p(s

x;t s

I) 與 s 無關

因此我們把 p(s

x;t s

I) 改寫為 p(t;x

I)=p(s

x;t s

I)。

其次若我們定 則顯然

p(t;x

I)=pi(I-x)。

再深入一點討論

考慮一個單位時間內之布朗運動;其樣本空間 Ω 可取為 。

Ii=[ai

bi]

然後定義 W 稱為衛納測度。

衛納利用 W 來研究布朗運動

也因此發展無窮維空間 C[0

1] 上的積分理論(參見[3])。

定義一並未保證軌跡 為連續

但可以證明存在一連續布朗運動 使得對任何 t

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